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1908 連立方程式2題解けますか？

諸官立学校入学試験数学問題並解義. 明治35-42年度 - 国立国会図書館デジタルコレクション

第一問
1908（明治41）第二高校次の連立方程式を解け
$x^2-xy+y^2=13, x^3+y^3=91$

第二問
1908（明治41）第七高校次の連立方程式を解け
$x+y+\sqrt{x+y}=12, x^3+y^3=189$

（第◯問は, 自分が勝手につけたものです）

同じ年の入試で別々の高校から出された連立方程式
多分偶然だけど, どちらも $x^3+y^3$ というのが入ってますね

第一問

第一問を見ると、
$x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)$ が連想されます.
よって, このように変形すれば上手くいくと思って, 計算する

$x^3+y^3=91$ を変形して,
$(x+y)(x^2-xy+y^2)=91$
ここで, $x^2-xy+y^2=13$ より,
$13(x+y)=91$
よって, $x+y=7$
変形して $x=7-y$

$x^2-xy+y^2=13$
に $x=7-y$ を代入すれば,

$(y^2-14y+49)-(7-y)y+y^2=13$
展開して,
$3y^2-21y+49=13$
よって
$y^2-7y+12=0$
変形して
$(y-3)(y-4)=0$ これを解いて, $y=3$ または $y=4$

$y=3$ のとき $x=4$
$y=4$ のとき $x=3$
よって, $(x,y)=(3,4),(4,3)$

第二問

$\sqrt{x+y}$ がなんか怖そうですね
しかし, $x+y=(\sqrt{x+y})^2$ だから,
$\sqrt{x+y}=t$ とでもおく。

$x+y+\sqrt{x+y}=t^2+t$ となり,
$t^2+t=12$ が成立する.
これを変形して
$t^2+t-12=0$
よって
$(t-3)(t+4)=0$ これを解いて $t=3$ または $t=-4$

[Ⅰ] $t=3$ のとき,
$\sqrt{x+y}=3$
より,両辺正であるから $x+y=9$

また,
$x^3+y^3=189$ より
$(x+y)(x^2-xy+y^2)=189$ であるから
$x+y=9$ を代入して
$9(x^2-xy+y^2)=189$
すなわち $x^2-xy+y^2=21$

また, $x=9-y$ であるから,
$(y^2-18y+81)-(9-y)y+y^2=21$ が成立
展開して整理すると
$y^2-9y+20=0$
よって
$(y-4)(y-5)=0$ これを解いて $y=4$ または $y=5$

$y=4$ のとき, $x=5$
$y=5$ のとき, $x=4$

[Ⅱ] $t=-4$ のとき,
$\sqrt{x+y}=-4$
より不適.

よって, $(x,y)=(4,5),(5,4)$