しょぼんブログ

数学の色々とか様々とか

1902 等差中項と等比中項

1902 旧制高校入学選抜試験MathJax

1902 (明治35年) 旧制高校選抜代数
$8, a, b$ が等差級数をなし, $a, b, 36$ が等比級数をなすとき
$a, b$ の値を求む

【注意】
等差級数は等差数列を,
等比級数は等比数列を表す。

現在では, 級数は「総和」という意味の使われ方をしますが,
昔では数列を級数と呼んでいたんです。
3.4年の代数考へ方解き方新研究 : 教科書本位・自習学習 - 国立国会図書館デジタルコレクション
を参考にしました。

$8, a, b$ が等差数列をなすので,
$2a=8+b$ …① が成り立ちます。
これは等差中項といい, 現在でも便利な公式ですが,
昔はもっと重要度が高くなっていたと思います。
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$a, b, 36$ が等比数列をなすので
$b^2=36a$ …② が成り立ちます。
さきほどと同じく、これは等比中項といいます。

①を変形して, $b=2a-8$ …①'
これを②に代入して,
$(2a-8)^2=36a$ すなわち $4a^2-32a+64=36a$
よって, $a^2-17a+16=0$ よって $(a-1)(a-16)=0$ よって $a=1$ または $16$

$a=1$ のとき, ①'より $b=-6$
$a=16$ のとき, ①'より $b=24$

よって, $(a,b) = (1,-6), (16,24)$

等差中項と等比中項の証明

$a, x, b$ が等差数列をなすとき, $2x=a+b$ を示す.
その階差を考えると, $x-a=b-x$ が成り立つので,
変形して $2x=a+b$ が示せた.

$a, x, b$ が等比数列をなすとき, $x^2=ab$ を示す.
その階差を考えると, $\displaystyle \frac{x}{a}=\frac{b}{x}$ が成り立つので,
変形して $x^2=ab$ が示せた.

等差・等比数列という言葉通り,
差と比を考えることによって証明できます。
普通の定義通りなのですが, こう見ると結構エモいですね