1926 不定積分 - しょぼんブログ

1926(大正15) 九州大工学部
次の不定積分を計算せよ
$\displaystyle \int \frac{x^2}{x^4+x^2-2} dx$

結構難しい。

部分分数分解する。
$\dfrac{x^2}{x^4+x^2-2}=\dfrac{x^2}{(x-1)(x+1)(x^2+2)}=\dfrac{\dfrac{1}{6}}{x-1}-\dfrac{\dfrac{1}{6}}{x+1}+\dfrac{\dfrac{2}{3}}{x^2+2}$
したがって求めるべき積分は
$\displaystyle \dfrac{1}{6} \int \dfrac{1}{x-1} dx - \dfrac{1}{6} \int \dfrac{1}{x+1} dx + \dfrac{2}{3} \int \dfrac{1}{x^2+2} dx$

１番目、
$\displaystyle \dfrac{1}{6} \int \dfrac{1}{x-1} dx = \dfrac{1}{6} \log{|x-1|}+C$
２番目、
$\displaystyle -\dfrac{1}{6} \int \dfrac{1}{x+1} dx = -\dfrac{1}{6} \log{|x+1|}+C$
３番目、
$x=\sqrt{2}\tan{u}$ とおいて, $dx=\sqrt{2}\dfrac{1}{\cos^2{u}}du$ だから
$\displaystyle \dfrac{2}{3} \int \dfrac{1}{x^2+2} dx=\dfrac{2\sqrt{2}}{3} \int \dfrac{1}{2\tan^2{x}+2} \dfrac{1}{\cos^2{u}} du$
$\displaystyle =\dfrac{2\sqrt{2}}{3} \int \dfrac{1}{2} du$ $\displaystyle =\dfrac{\sqrt{2}}{3} u+C$
ここで, $\dfrac{x}{\sqrt{2}}=\tan{u}$ より $u=\arctan{\dfrac{x}{\sqrt{2}}}$ であるから
$\displaystyle =\dfrac{\sqrt{2}}{3} \arctan{\dfrac{x}{\sqrt{2}}}+C$

あわせて
$\displaystyle \dfrac{1}{6} \int \dfrac{1}{x-1} dx - \dfrac{1}{6} \int \dfrac{1}{x+1} dx + \dfrac{2}{3} \int \dfrac{1}{x^2+2} dx$
$=\dfrac{1}{6} \log{|x-1|}-\dfrac{1}{6} \log{|x+1|}+\dfrac{\sqrt{2}}{3} \arctan{\dfrac{x}{\sqrt{2}}}+C$
$=\dfrac{1}{6}\log{\left|\dfrac{x-1}{x+1}\right|}+\dfrac{\sqrt{2}}{3} \arctan{\dfrac{x}{\sqrt{2}}}+C$