1909 高校入試比例式の証明 - しょぼんブログ

諸官立学校入学試験数学問題並解義. 明治35-42年度 - 国立国会図書館デジタルコレクション
p40 問題, p162 解答（コマ番号）

1909（明治42）第一、二、三、四、五、六、八高等学校代数(Ⅱ)

$\displaystyle \frac{y+z}{b-c}=\frac{z+x}{c-a}=\frac{x+y}{a-b}$ なるときは $x+y+z=0$ なることを示し

各分数は $\displaystyle \sqrt[3]{\frac{xyz}{(a-b)(a-c)(b-c)}}$ に等しきことを証せよ.

比例式の定番ですが, 文字で置くことで結構うまくいくことが多いです。
$\displaystyle \frac{y+z}{b-c}=\frac{z+x}{c-a}=\frac{x+y}{a-b}=k$ （ $k$ は実数）とおく
このとき,
$y+z=k(b-c)$ …①
$z+x=k(c-a)$ …②
$x+y=k(a-b)$ …③
これを足し合わせると消えそうです。
（１個１個足しても以下の式になります。）

①＋②＋③より,
$2(x+y+z)=0$
よって, $x+y+z=0$

次に、示すべきものは
$\displaystyle \sqrt[3]{\frac{xyz}{(a-b)(a-c)(b-c)}}$
という難しそうな式です。

示した $x+y+z=0$ を用いて
$x+y=-z, y+z=-x, z+x=-y$ と変形します
このとき,
$\displaystyle \frac{y+z}{b-c}=\frac{z+x}{c-a}=\frac{x+y}{a-b}$ は,
$\displaystyle \frac{-x}{b-c}=\frac{-y}{c-a}=\frac{-z}{a-b}$
と表されて、全部掛け合わせると上の式に近い形になります。

このとき, 全部かけ合わせると
$\displaystyle \frac{-xyz}{(a-b)(b-c)(c-a)}=k^3$
より, それぞれの分数は $k$ であるから, 上の式の３乗根が $k$ に等しいはずです。
$\displaystyle k=\sqrt[3]{\frac{-xyz}{(a-b)(b-c)(c-a)}}$
あとは, マイナスを $c-a$ に持っていきます
$\displaystyle k=\sqrt[3]{\frac{xyz}{(a-b)(a-c)(b-c)}}$

【？】
３乗根は、実数全体で定義されるので
どんな $k$ をとっても大丈夫だと思います。
１つの実数に対して、ただ１つの３乗根が存在し、
逆に１つの３乗根に対して、ただ１つの実数が存在します