1933 昔の因数分解 - しょぼんブログ

$a^{12}-1$
を因数分解せよ

めちゃくちゃ次数高い！
現代にはあまりこういう因数分解の問題はありませんね

$12=2^2\times 3$
に注目して,
$x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)$
を適用すると次数が削れて楽だと思います

$a^{12}-1 \\ =(a^4-1)(a^8+a^4+1)$

ここで, $a^4-1$ の因数分解は楽そうです
$a^4-1 \\ = (a^2-1)(a^2+1)\\ = (a-1)(a+1)(a^2+1)$
これで終わりです。
$x^2-y^2=(x+y)(x-y)$ を複数回適用しただけです

しかし, $a^8+a^4+1$ はなかなか難しそうです
複二次式の因数分解を知っているなら, ちょっと連想できそうです
$a^8+a^4+1 \\ =(a^4+1)^2-a^4 \\ =(a^4+1)^2-(a^2)^2 \\ =(a^4+a^2+1)(a^4-a^2+1)$
ここでさらに $a^4+a^2+1$ の方は因数分解できます。
$a^4+a^2+1 \\ =(a^2+1)^2-a^2 \\ =(a^2+a+1)(a^2-a+1)$
何度か試すとわかりますが、 $a^4-a^2+1$ は因数分解できなさそうです。

よって,

$a^{12}-1 \\ =(a-1)(a+1)(a^2+1)(a^2+a+1)(a^2-a+1)(a^4-a^2+1)$