1904. 方程式を解け - しょぼんブログ

1904 札幌農学校MathJax

1904 札幌農学校第一問
次の方程式を解け
$x(x-1)(x-3)=12$

最近ブログを更新していないので, 2分で考えたものを書く

この問題の解はそんなに面白いものではないが,
解法を考えてみたので参考になるかもしれない。

まず, $x(x-1)(x-3)=12$ はこのままでは解けない。
そこで, $x(x-1)(x-3)$ が12になるような整数 $x$ を考えてみる。
3次方程式は, 1個解が見つかると, (1次式)(2次式)=0のような方程式にできて、それからは楽になる
だから, 整数解が見つかりそうなこの状態でまず1つの解を見つけてみる。

ここで, がんばって正の整数で探してみると, $x=4$ が見つかる。
$x(x-1)(x-3)=12$ の左辺をまず展開してみる
ぱっと浮かぶのが, $(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)=x^3-(\alpha+\beta+\gamma)x^2+(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)x-\alpha\beta\gamma$
しかし,これでは非効率である。
$x(x^2-4x+3)=12$ というふうに, まず複雑なものを展開するとよい
$x^3-4x^2+3x=12$ こうなる.
移項して $x^3-4x^2+3x-12=0$
ここで, $x=4$ が解であることがわかっているので, わざわざ解を見つけなくてもよい
$x^3-4x^2+3x-12$ を $x-4$ で割ると, $(x-4)(x^2+3)$ となるので,
方程式は $(x-4)(x^2+3)=0$ となる。
（ここで, 組立除法を使うと楽である）

よって, $x-4=0$ または $x^2+3=0$
（重要な同値変形。 $AB=0 \Leftrightarrow A=0$ または $B=0$ ）
$x-4=0$ より $x=4$
$x^2+3=0$ より $x=\pm \sqrt{3}i$
よって方程式の解は
$x=4, \pm \sqrt{3}i$