しょぼんブログ

数学の色々とか様々とか

テスト投稿だ！！

私はブログを始めようと思う.
なにか記録に残さないといけないと感じるようになってきた.
なのでTEXのテスト代わりに, 過去に証明したものを載せる

関数の一致（2019/08/12）

$f(x), g(x)$ が実数全体で微分可能な関数とする. $a$ を実数とする.
このとき, $f'(x)=g'(x)$ かつ $f(a)=g(a) \Leftrightarrow f(x)=g(x)$

（証明）
（ $\Leftarrow$ ）自明
（ $\Rightarrow$ ）
$\int f'(x)dx=\int g'(x)dx$ より,
$\int f'(x)dx=f(x)+C_1$
$\int g'(x)dx=g(x)+C_2$ （ $C_1,C_2$ は積分定数）
よって, $f(x)+C_1=g(x)+C_2 \cdots (1)$

これは $x=a$ でも成り立ち,
$f(a)+C_1=g(a)+C_2 \cdots (2)$
また, $f(a)=g(a)$ が成り立つので,
$f(a)+C_1=g(a)+C_1 \cdots (3)$
これを $(2)$ に代入して, $g(a)+C_1=g(a)+C_2$
よって $C_1=C_2$

これを $(1)$ に代入して, $f(x)+C_1=g(x)+C_1$
したがって $f(x)=g(x)$ （証明終わり）