02/17 日記 - しょぼんブログ

集合位相第3章 #1, 演習問題.（すべて解けた）
5. で $(\mathbb{N}, \prec)$ （ $\prec$ は, $y$ が $x$ の倍数なら $x \prec y$ とする, $|$ で表記することもある）における $\{a_1, ..., a_n\}$ の上限, 下限を問われた. 上界の定義は順序集合なら平等に「 $M$ のすべての元 $x$ に対し $x \leq a$ 」である. いままで順序集合といえば全順序集合を思い浮かべていたが, 全順序でない場合少し考えることが増えて, 上界になるにはまず $M$ のすべての元 $x$ に対し順序が存在する必要がある. ここが不思議な感覚である.

順序単射は「順序写像かつ単射」と異なって, これについて良い記事を見つけた.
darshimo.hatenablog.com
$A$ から $A'$ への順序単射かつ全射な写像 $f$ が存在するなら $A$ と $A'$ は順序同型という.
8. で $\mathbb{N}, \mathbb{Z}, \mathbb{Q}$ がどの2つも順序同型でない証明を問われた. どれも濃度が同じなのは第2章でやったが, どこかちょっと違和感があった. もしかすると, 「感覚的に濃度が同じ」は順序同型に近いのではないかと思った.