しょぼんブログ

数学の色々とか様々とか

昔の自作問題の解説！

2020年8月に作った問題です

自然数 $n$ であって, $10000$ を $n$ で割ると $9$ 余るものを全て求めよ.

以下は解答・解説です.
問題の分野は整数で, かんたんな問題です.

まず余りは $0$ 以上 $n$ 未満の整数しか取らないので, $n\geqq 10$ が条件として付きます.
次に, $10000$ を $n$ で割ると $9$ 余ったので, 整数 $k$ を用いて $10000=nk+9$ と表せます. 移項すると $10000-9=nk$ となります.
ここで, $10000-9=9991$ の素因数分解をするときに因数分解を使うテクニックがあります.
$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$ を利用して, $10000-9=100^2-3^2=(100-3)\times(100+3)=97\times103$ となります.（ $97$ と $103$ はどちらも素数）
そうすることで $97\times 103=nk$ と変形できました. $n\geqq 10$ を考慮すれば $(n,k)=(97, 103), (103, 97), (9991, 1)$ . これはすべて適します. よって, 求める $n$ は $n=97, 103, 9991$ .